Mathematics | Fourier Analysis | Basic Properties of Fourier Series

References

• Fourier Analysis (Elias M. Stein) - Chapter 2

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1. Examples and Formulation of The Problem

정의

• $f$: 단위원 위에서 정의된 리만적분 가능한 함수 (= $[0, 2\pi]$에서 정의된 $2\pi$-periodic한 함수)
• $\hat{f}(n) = {1\over 2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(\theta)e^{-in\theta}d\theta$: 푸리에 계수
• $D_N(\theta) = \sum_{n=-N}^N e^{in\theta}$: 디리클레 커널
• $S_N(f)(\theta) = \sum_{n=-N}^N \hat{f}(n)e^{in\theta} = (D_N * f)(\theta)$: $N$차 푸리에 부분합
• $\rightarrow$: 점별수렴(pointwise convergence)
• $\rightrightarrows$: 균등수렴(uniform convergence)

궁금한 것: $$f(\theta) = \sum_{n=-\infty}^\infty\hat{f}(n)e^{in\theta} = \lim_{N \rightarrow \infty} S_N(f)(\theta) \ \ ??$$

해당 질문에 답하기 위해 푸리에 급수의 여러 가지 특성을 살펴보는 단원이다.

 

• 어떻게 해야 $N \rightarrow \infty$일 때, $S_N(f) \rightarrow f$ 또는 $S_N(f) \rightrightarrows f$가 될까?
  
  • $f$가 단순히 리만적분가능하면? (X)
    • 값을 바꿔칠 수 있다.
    • 만약 $S_N(f) \rightarrow f$라 해보자. 그럼 $f(\theta_1) \neq f(\theta_2)$인 $\theta_1, \theta_2$가 존재할 경우 $$g(\theta) = \left \{ \begin{array}{ll} f(\theta) & \theta \neq \theta_1, \theta_2 \\ f(\theta_2) & \theta = \theta_1 \\ f(\theta_1) & \theta = \theta_2 \end{array} \right .$$인 $g$를 정의하면 $S_N(f) = S_N(g)$이지만 $S_N(g) \not\rightarrow g$이다.
  • $f$가 연속이면? (X)
    • 한 점에서 발산하는 반례가 있다.
  • 정답은 $f$가 Hölder condition을 만족하는 경우이다. 연속보다는 강한, 미분가능보다는 약한 조건이다. 이 책은 이 condition까지 찾아과는 과정을 보여준다.

 

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2. Uniqueness of Fourier Series

Uniqueness에 대한 질문: $\hat{g_1} = \hat{g_2}$이면 $g_1=g_2$일까? $\iff$ $\hat{f} = \hat{g_1}-\hat{g_2} = 0$이면 $f=g_1-g_2=0$?

• $f$가 리만적분 가능, $\hat{f}=0 \implies f$가 연속인 $\theta$에 대해서 $f(\theta)=0$ 
• $f$가 연속, $\hat{f} = 0 \implies f = 0$
• $f$가 연속, $\sum|\hat{f}| < \infty \implies S_N(f) \rightrightarrows f$
  • $\vphantom{\displaystyle \int}$그럼 $\sum|\hat{f}| < \infty$는 어떻게 얻나?
    • 이게 $f$가 Hölder condition이 성립할 때다.
    • 단순히 $f \in D^2$ 정도로 생각해도 된다.(Hölder보다 강한 조건)

$f$가 연속, 1번 미분가능, 1차 도함수가 연속, 2번 미분가능, ...으로 갈수록 더 "부드럽다"고 한다. 그리고 $f^{(k)}$의 푸리에 계수를 구해보면 $f$의 푸리에 계수의 $n^k$배에 비례하는 것을 알 수 있다(부분적분). 그러므로 $f$가 부드러우면 부드러울수록 $|\hat{f}(n)|$이 $n \rightarrow \infty$일 때 더 빠르게 decay하게 된다. 따라서 $f$가 부드러우면 $S_N(f)$는 더 "잘" 수렴하게 된다. 지금 궁금한 것은 "$S_N(f)$를 수렴하게 하는 제일 거친 $f$의 조건은 무엇일까?"이다.

 

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3. Convolution

$$(f*g)(\theta) = {1\over 2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(\tilde{\theta})g(\theta-\tilde{\theta}) d\tilde{\theta}$$

• $S_N(f) = D_N * f$

$f$, $g$가 다른 조건 없이 리만적분 가능이기만 해도 $f*g$는 연속이다. (어떤 연속인 함수들의 함수열을 만들어 $f*g$로 균등수렴시킬 수 있다. 이걸로 $f*g$가 연속이 됨을 보인다. 분량이 꽤 된다.)

 

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4. Good Kernels

무한급수를 $f$와 good kernel과의 컨볼루션으로 나타내면 $f$가 연속인 것만 알아도 균등수렴성을 보장받을 수 있다. 푸리에급수도 이렇게 나타낼 수 있을까?에 대한 답이다.

정의

단위원 위에서 정의된 함수열 $\{K_n(x)\}_{n=1}^\infty$가 다음 세 조건을 만족하면 good kernel족이라 한다.

 

1. 전체 적분 $1$
2. 절대 적분 유계
3. $n \rightarrow \infty$일 때, $\delta$-Ball 바깥에서 절대적분 $\rightarrow 0$

각각 수식으로 쓰면

$$\begin{array}{ll} (1) \ \forall n \geq 1, & \displaystyle {1\over 2\pi} \int_{-\pi}^\pi K_n(x)dx = 1 \\ (2)  \ \exists M > 0, \forall n \geq 1, & \displaystyle\int_{-\pi}^\pi |K_n(x)|dx \leq M \\ (3) \ \forall \delta > 0, & \displaystyle\int_{\delta \leq |x| \leq \pi} |K_n(x)|dx \rightarrow 0 \text{ as } n \rightarrow \infty \end{array}$$

가 된다. (2)는 수렴성을 보장해주고 (1)은 unit mass를 가지게 해주고, (3)은 $n$이 커질수록 mass가 중앙($0$)에 집중되도록 해준다.

Convolution과 연관지으면 의미가 더 명확해진다.

$\{K_n\}_{n=1}^\infty$: good kernel 족
$f$: 단위원 위에서 리만적분 가능
이면,
$$\begin{array}{ll} (f*K_n)(x) \rightarrow f(x), & \text{ whenever } x \text{ is the continuity of } f \\ f * K_n \rightrightarrows f, & \text{ if } f \text{ continuous } \end{array}$$

$f$가 단순히 연속이기만 하면 good kernel과 컨볼루션한 함수는 균등수렴성이 보장된다.

한편, good kernel과의 convolution은 weighted average로 생각할 수 있다. 이 때문에 $\{K_n\}$은 "approximation to the identity"라 부른다.

푸리에와의 연관성

$S_N(f) = D_N * f$이므로 $D_N$이 good kernel이기만 하면 $f$가 단순히 연속이기만 해도 푸리에 급수가 균등수렴한다. 하지만 $D_N$은 good kernel이 아니다. $n$이 커질수록 중앙의 peak에 값이 너무 많이 집중되기 때문에 발산한다. (2)를 위배한다. (그래서 $S_N(f)$가 수렴하려면 $f$가 연속보단 강한 Hölder condition이 필요한 것이다.)

Dirichlet kernel

따라서 $S_N$은 순수히 summable to $f$인 것은 아니다. 그래도 다음과 같은 약한 summability를 생각해볼 수 있다.

 

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5. Cesàro & Abel Summability

Cesàro summability

$c_k \in \mathbb{C}$인 $\{c_k\}_{k=0}^\infty$에 대해

 

• $s_n = \sum_{k=0}^\infty$: $n$차 부분합
• $\lim_{n \rightarrow \infty} s_n = s$: $s_n$이 $s$로 수렴
• $\sigma_N = (s_0 + s_1 + \cdots + s_{N-1}) / N$: 첫 $N$차 부분합의 평균
  • $\{s_k\}$의 $N$차 Cesàro mean $\vphantom{\displaystyle \int}$
  • 합 $\sum_{k=0}^\infty c_k$의 $N$차 Cesàro sum
• $\lim_{N \rightarrow \infty} \sigma_N = \sigma$: 합 $\sum c_n$은 Cesàro summable to $\sigma$

푸리에와의 연관성

• $\sigma_N(f)(x) = {S_0(f)(x) + \cdots + S_{N-1}(f)(x) \over N}$: $N$차 푸리에 부분합($S_N(f)$)의 Cesàro mean
• $F_N(x) = {D_0(x) + \cdots + D_{N-1}(x) \over N}$: N차 Fejér(페예르) kernel
• $\sigma_N(f) = f * F_N$

$F_N$은 good kernel이라서 $\sigma_N(f)$는 어딘가로 균등수렴한다. 따라서 부분합 $S_N(f)$는 Cesàro summable 하다. (Summable하진 않지만 Cesàro summable이긴 하다.)

Abel summability

Cesàro summability보다 이전에 개발된 방법이다. Cesàro보다 약한 summability를 정의할 수 있다.

 

같은 $\{c_k\}$에 대해 $0 \leq r < 1$일 때,

 

• $A(r) = \sum_{k=0}^\infty c_k r^k$: Abel means
• $A(r)$ converges and $\lim_{r \rightarrow 1^-} A(r) = s$: $\sum_{k=0}^\infty c_k$는 Abel summable to $s$

함수에 대해서도 정의해볼 수 있다.

 

• $P_r(\theta) = \sum_{n=-\infty}^\infty r^{|n|}e^{in\theta}$: 푸아송 kernel
• $A_r(f) = f * P_r$: $f$의 Abel means

$0 \leq r < 1$이기만 하면 $P_r$도 good kernel이 되고 $A_r(f)$는 균등+절대수렴한다.

푸리에와의 연관성

$r \rightarrow 1^-$이면 $A_r(f) = \lim_{N \rightarrow \infty}S_N(f)$이다. 그리고 $r \rightarrow 1^-$일 때에도 $A_r(f)$는 good kernel이기 때문에 $\lim_{N \rightarrow \infty} S_N(f)$는 Abel summable하다. 역시나 $f$가 연속이기만 해도 수렴한다.

정리

$S_N(f)$는 summable하진 않지만 Cesàro summable, 그리고 Abel summable(정확히는 $\lim_{N \rightarrow \infty} S_N(f)$가) 하다. 그리고 summable $\implies$ Cesàro summable $\implies$ Abel summable이다. $S_N(f)$는 summable하진 않아도 좋은 조건들은 꽤 많이 가지고 있음을 알 수 있다.